Question

16．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{{1-{a^2}}}$=1（a＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若存在k，使直線y=k（x-1）與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且△PF₁Q的周長為8，則雙曲線的斜率為正的漸近線的傾斜角的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）
• B． （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）
• C． （0，$\frac{π}{6}$）
• D． （0，$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義建立不等式關(guān)系進行求解即可．

解答 解：直線y=k（x-1）經(jīng)過雙曲線的右焦點，∴△PF₁Q的周長為4a+2|PQ|，
∵$|{PQ}|＞\frac{{2（1-{a^2}）}}{a}$，∴$4a+2|{PQ}|＞4a+\frac{{4（1-{a^2}）}}{a}=\frac{4}{a}$，即：$\frac{4}{a}＜8$，
又$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 1-{a^2}＞0\end{array}\right.$解得0＜a＜1，∴$\frac{1}{2}＜a＜1$，
雙曲線的斜率為正的漸近線的方程為：$y=\frac{{\sqrt{1-{a^2}}}}{a}x$，
∵$\frac{1}{2}＜a＜1∴\frac{{\sqrt{1-{a^2}}}}{a}=\sqrt{\frac{{1-{a^2}}}{a^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}∈（0，\sqrt{3}）$，
從而，此漸近線的傾斜角的取值范圍為$（0，\frac{π}{3}）$．
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．