Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e=$\frac{1}{2}$，P為橢圓C上一個動點(diǎn)，△PF₁F₂面積的最大值為$\sqrt{3}$，拋物線E：y²=2px（p＞0）與橢圓C有共同的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C和拋物線E的方程；
（2）設(shè)A，B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=5．
①求證：直線AB必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)M作AB的垂線與拋物線交于G、H兩點(diǎn)，求四邊形AGBH面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)P為橢圓的上下頂點(diǎn)時，△PF₁F₂面積的最大值，利用面積公式、離心率公式及a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出a、b和c的值，求得橢圓方程，由$\frac{p}{2}$=c，求得p的值，即可求得拋物線方程；
（2）設(shè)出直線方程和A、B點(diǎn)坐標(biāo)，并將直線方程代入橢圓方程，整理得到關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求得y₁+y₂和y₁•y₁關(guān)系，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=5，求得t=5，即可證明直線AB必過定點(diǎn)（5，0），設(shè)G、H的坐標(biāo)，分別表示出丨AB丨和丨GH丨，根據(jù)四邊形AGBH面積S=$\frac{1}{2}$丨AB丨•丨GH丨，整理關(guān)于x的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求得S的最小值．

解答 解：（1）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}（2c）×b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
所以橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．（2分）
所以$\frac{p}{2}=1$，得：p=2．
拋物線E的方程為y²=4x．（3分）
（2）①證明：設(shè)直線AB的方程為x=my+t，A（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂），y₁•y₁＜0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+t}\end{array}\right.$得：y²-4my-4t=0，
由韋達(dá)定理可知y₁+y₂=4m，y₁•y₁=-4t．（5分）
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=5．，得$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{16}+{y}_{1}{y}_{2}=-5$，
整理得t²-4t-5=0，解得t=-1或5，
∵y₁•y₁＜0，
∴t=5，
∴直線AB過定點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，0）．（7分）
②由①得丨AB丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，丨y₁-y₁丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{16{m}^{2}+80}$=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{{m}^{2}+5}$．（9分）
設(shè)G（x₃，y₃）、H（x₄，y₄），同理得：丨GH丨=$\sqrt{1+（-\frac{1}{m}）^{2}}$丨y₃-y₄丨=4$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{1}{{m}^{2}}+5}$．（10分）
則四邊形AGBH的面積S=$\frac{1}{2}$丨AB丨•丨GH丨=8$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{{m}^{2}+5}$•$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{1}{{m}^{2}}+5}$． 
=8$\sqrt{[2+（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）]•[26+5（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）]}$，（11分）
令${m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}$=μ（μ≥2），
則S=8$\sqrt{（2+μ）（26+5μ）}$=8$\sqrt{5{μ}^{2}+36μ+52}$，
∴S關(guān)于μ的增函數(shù)．故S_min=96，當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時取得最小值96．（12分）

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、四邊形形面積計(jì)算公式、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．