Question

3．已知F₂、F₁是雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)F₂關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 首先求出F₂到漸近線的距離，利用F₂關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓上，可得直角三角形MF₁F₂，運(yùn)用勾股定理，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，F(xiàn)₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），
一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，則F₂到漸近線的距離為$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b．
設(shè)F₂關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，F(xiàn)₂M與漸近線交于A，
∴|MF₂|=2b，A為F₂M的中點(diǎn)，
又0是F₁F₂的中點(diǎn)，∴OA∥F₁M，∴∠F₁MF₂為直角，
∴△MF₁F₂為直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
即c=2a，e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)以及有關(guān)離心率和漸近線，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．