Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為2。

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C上是否存在一點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)與直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）； （2），直線，或，直線．

【解析】

(1) 設(shè)，可得直線l的方程為，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式，可求出c,再由離心率公式即可求出a,b從而可得橢圓方程;

(2) 設(shè)，，, 設(shè)代入橢圓方程消元，再由韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求出結(jié)果.

（1）設(shè)，可得直線l的方程為，

即為，由坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為2，

即有，解得，

由，可得，b=2，

即有橢圓的方程為；

（2）設(shè)，，，

①當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)其方程為：

由，消去y得．

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓得，

∴，∴（舍去），即為．

當(dāng)時(shí)，，直線，

當(dāng)時(shí)，，直線．

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為：，

依題意，四邊形OAPB為菱形，此時(shí)點(diǎn)P不在橢圓上，

即當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不適合題意；

綜上所述，存在P，且，直線，

或，直線．