Question

16．對(duì)a，b∈R定義運(yùn)算“*”為a*b=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≤b）}\\{b（a＞b）}\end{array}\right.$若f（x）=[log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2）]*（log₂x），試求f（x）的值域．

Answer 1

分析 首先求出函數(shù)f（x）的定義域，然后由log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-22）≤log₂x求得x的范圍，然后寫(xiě)出分段求出值域后取并集得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2）*log₂x的定義域?yàn)閧x|x＞$\frac{2}{3}$}，
由log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2）≤log₂x，得-log₂（3x-2）≤log₂x，即log₂x（3x-2）≥0，
∴3x²-2x-1≥0，解得：x≤-$\frac{1}{3}$或x≥1．
∵函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞$\frac{2}{3}$}，∴x≥1．
則當(dāng)$\frac{2}{3}$＜x＜1時(shí)，log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2）＞log₂x．
∴當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2）≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$1=0；
當(dāng)$\frac{2}{3}$＜x＜1時(shí)，f（x）=log₂x∈（log₂$\frac{2}{3}$，0）．
∴函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2）*log₂x的值域?yàn)椋?∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的值域，考查了對(duì)數(shù)不等式的解法，關(guān)鍵是對(duì)題意的正確理解，是中檔題．