已知函數(shù)
的定義域為
,若
在
上為增函數(shù),則稱
為“一階比增函數(shù)”;若
在
上為增函數(shù),則稱
為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為
,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為
.
(Ⅰ)已知函數(shù)
,若
且
,求實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅱ)已知
,
且
的部分函數(shù)值由下表給出,
求證:
;
(Ⅲ)定義集合
請問:是否存在常數(shù)
,使得
,
,有
成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,說明理由.
(I)
(Ⅱ)見解答(Ⅲ)
.
試題分析:(I)理解
且
的意義,代入后利用函數(shù)的性質(zhì)求解; (Ⅱ)通過表格得到
,再運用
為增函數(shù)建立不等式,導(dǎo)出
,運用
即可. (Ⅲ)判斷
即運用反證法證明
,如果
使得
則利用
即
為增函數(shù)一定可以找到一個
,使得
,
對
成立;同樣用反證法證明證明
在
上無解;從而得到
,
對
成立,即存在常數(shù)
,使得
,
,有
成立,選取一個符合條件的函數(shù)
判斷
的最小值是
,由上面證明結(jié)果確定
即是符合條件的所有函數(shù)的結(jié)果.
試題解析:(I)因為
且
,
即
在
是增函數(shù),所以
2分
而
在
不是增函數(shù),而
當(dāng)
是增函數(shù)時,有
,所以當(dāng)
不是增函數(shù)時,
.
綜上得
4分
(Ⅱ) 因為
,且
所以
,
所以
,
同理可證
,
三式相加得
所以
6分
因為
所以
而
,所以
所以
8分
(Ⅲ) 因為集合
且存在常數(shù)
,使得任取
所以
,存在常數(shù)
,使得
對
成立
我們先證明
對
成立
假設(shè)
使得
,
記
因為
是二階增函數(shù),即
是增函數(shù).
所以當(dāng)
時,
,所以
所以一定可以找到一個
,使得
這與
對
成立矛盾 11分
對
成立
所以
,
對
成立
下面我們證明
在
上無解
假設(shè)存在
,使得
,
則因為
是二階增函數(shù),即
是增函數(shù)
一定存在
,這與上面證明的結(jié)果矛盾
所以
在
上無解
綜上,我們得到
,
對
成立
所以存在常數(shù)
,使得
,
,有
成立
又令
,則
對
成立,
又有
在
上是增函數(shù),所以
,
而任取常數(shù)
,總可以找到一個
,使得
時,有
所以
的最小值為
. 14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
(1)求函數(shù)
在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)
單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)若
∈[1,1],使得
(e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
二次函數(shù)y=ax
2+bx與指數(shù)函數(shù)
y=()x的圖象只可能是( 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
對于具有相同定義域
的函數(shù)
和
,若存在
,使得
,則
和
在
上是“親密函數(shù)”.給出定義域均為
的四組函數(shù)如下:
①
②
③
④
其中,函數(shù)
和
在
上是“親密函數(shù)”的是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知兩條直線
和
(其中
),
與函數(shù)
的圖像從左至右相交于點
,
,
與函數(shù)
的圖像從左至右相交于點
,
.記線段
和
在
軸上的投影長度分別為
.當(dāng)
變化時,
的最小值為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù) f(x)=ax+lnx,其中a為常數(shù),設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)a=-1時,求
的最大值;
(2)若f(x)在區(qū)間(0,e]上的最大值為-3,求a的值;
(3)當(dāng)a=-1時,試推斷方程
是否有實數(shù)解 .
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
.
(1) 試問函數(shù)f(x)能否在x=
時取得極值?說明理由;
(2) 若a=
,當(dāng)x∈[
,4]時,函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有兩個公共點,求c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
定義新運算⊕:當(dāng)a ≥b時,a⊕b=a;當(dāng)a<b時,a⊕b=b2,則f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最小值等于 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知
求
的值.
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