Question

16．若0＜α＜$\frac{π}{2}$，利用三角函數(shù)線證明：
（1）sinα＜α＜tanα；
（2）sinα+cosα＞1．

Answer 1

分析 （1）由題意作出三角函數(shù)線，進而比較S_△AOP，S_扇形AOP，S_△AOT的大小，可得答案．
（2）作出對應的正弦線和余弦線，利用兩邊之和大于第三邊進行比較即可．

解答 證明：（1）在直角坐標系中結(jié)合單位圓作出銳角α的正弦線和正切線，
由圖可知sinα=MP，α=$\widehat{AP}$，tanα=AT，
∵S_△AOP=$\frac{1}{2}$×MP×1=$\frac{1}{2}$sinα，
S_扇形AOP=$\frac{1}{2}$×$\widehat{AP}$×1=$\frac{1}{2}$α，
S_△AOT=$\frac{1}{2}$×AT×1=$\frac{1}{2}$tanα，
∵S_△AOP＜S_扇形AOP＜S_△AOT，
∴MP＜$\widehat{AP}$＜AT，
即sinα＜α＜tanα，
（2）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）時，過P作PM⊥x軸于點M，（如圖），
則sinα=MP，cosα=OMP，利用三角形兩邊之和大于第三邊有：sinα+cosα=MP+OM＞1．

點評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，用單位圓中的三角函數(shù)線表示三角函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．