Question

17．設變量x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≤0\\ x-3y+3≤0\\ x≥1\end{array}$，則z=$\frac{{|{x-y-4}|}}{{\sqrt{2}}}$的取值范圍是$[{\frac{{7\sqrt{2}}}{4}，3\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，利用所求表達式的幾何意義求解即可．

解答 解：變量x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≤0\\ x-3y+3≤0\\ x≥1\end{array}$，表示的可行域如圖：$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x=1}\end{array}\right.$，可得A（1，3），
$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-3y+3=0}\end{array}\right.$，可得B（$\frac{9}{4}$，$\frac{7}{4}$）．
z=$\frac{{|{x-y-4}|}}{{\sqrt{2}}}$的幾何意義是可行域內的點到直線x-y-4=0的距離，由圖形可知：A到直線的距離最大，B到直線的距離最�。�
最大值為：$\frac{|1-3-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
最小值為：$\frac{|\frac{9}{4}-\frac{7}{4}-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$．

故答案為：$[{\frac{{7\sqrt{2}}}{4}，3\sqrt{2}}]$．

點評 本題考查解得線性規(guī)劃的應用，作出可行域以及表達式的幾何意義是解題的關鍵，考查計算能力．