Question

18．已知a、b、c都是正數(shù)，求證：
（I）$\frac{^{2}}{a}$$+\frac{{c}^{2}}$$+\frac{{a}^{2}}{c}$≥a十b+c；
（2）2（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$≤3（$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$）

Answer 1

分析 （1）由a+$\frac{^{2}}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{^{2}}{a}}$=2b，b+$\frac{{c}^{2}}$≥2c，c+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥2a，累加即可得證；
（2）運(yùn)用作差法，結(jié)合三元均值不等式，即可得證．

解答 證明：（1）由a，b，c＞0，可得a+$\frac{^{2}}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{^{2}}{a}}$=2b，
b+$\frac{{c}^{2}}$≥2c，c+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥2a，
相加可得（a+b+c）+（$\frac{^{2}}{a}$$+\frac{{c}^{2}}$$+\frac{{a}^{2}}{c}$）≥2（a+b+c），
即為$\frac{^{2}}{a}$$+\frac{{c}^{2}}$$+\frac{{a}^{2}}{c}$≥a+b+c（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取得等號(hào)）；
（2）3（$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$）-2（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）
=c+2$\sqrt{ab}$-3$\root{3}{abc}$=c+$\sqrt{ab}$+$\sqrt{ab}$-3$\root{3}{abc}$
≥3$\root{3}{abc}$-3$\root{3}{abc}$=0，
可得2（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）≤3（$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取得等號(hào)）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用均值不等式，考查累加法和作差法的運(yùn)用，以及推理運(yùn)算能力，屬于中檔題．