13．求證：$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＜1（n＞1，n∈N*）

分析 設(shè)f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$，求得f（n+1），作差，即可判斷f（n）遞增，可得f（n）＞f（1）=$\frac{1}{2}$；再由f（n）中各項(xiàng)都小于$\frac{1}{n}$，累加即可得到f（n）＜1，進(jìn)而得證．

解答 證明：設(shè)f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$，
可得f（n+1）=$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$，
即有f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$
=$\frac{1}{（2n+1）（2n+2）}$＞0，
即有f（n）在n＞1，n∈N*遞增，
可得f（n）＞f（1）=$\frac{1}{2}$；
又$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{1}{n}$，…，$\frac{1}{2n}$＜$\frac{1}{n}$，
可得f（n）＜n•$\frac{1}{n}$=1，
綜上可得，$\frac{1}{2}$＜f（n）＜1．
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

3．已知拋物線y2=4x，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則|AC|+|BD|的最小值為（　�。�
A．4B．3C．2D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

4．已知方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{s}{t}}\\{y=t-\frac{s}{t}}\end{array}\right.$（s，t∈R，且s＞0，t＞0）．若以s為常數(shù)、t為參數(shù)的方程表示曲線C1；以t為常數(shù)、s為參數(shù)的方程表示曲線C2，那么C1，C2依次為雙曲線，直線．

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1．點(diǎn)P在△ABC的邊BC所在直線上，且滿足$\overrightarrow{AP$=2m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），則在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)Q（m+n，m-n）的軌跡的普通方程為3x+y-2=0．

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8．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$與直線x-y=1交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，其O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若$\frac{{\sqrt{2}}}{2}a≤b≤\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，則a取值范圍是（　　）
A．$[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$B．$[{\sqrt{3}，2}]$C．$[{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}}]$D．$[{\sqrt{5}，\sqrt{6}}]$

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18．已知a、b、c都是正數(shù)，求證：
（I）$\frac{^{2}}{a}$$+\frac{{c}^{2}}$$+\frac{{a}^{2}}{c}$≥a十b+c；
（2）2（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$≤3（$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$）

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5．有三位環(huán)保專家從四個(gè)城市中每人隨機(jī)選取一個(gè)城市完成一項(xiàng)霧霾天氣調(diào)查報(bào)告，三位專家選取的城市可以相同，也可以不同．
（1）求三位環(huán)保專家選取的城市各不相同的概率；
（2）設(shè)選取某一城市的環(huán)保專家有ξ人，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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2．求證：$\frac{n}{{2}^{n}}$＜$\frac{2}{n-1}$（n≥2，n∈N）

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3．對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，n，當(dāng)0＜n＜m＜$\frac{1}{a}$，恒有$\frac{\root{m}{n}}{\root{n}{m}}$＞$\frac{{n}^{a}}{{m}^{a}}$成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為1．

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