【題目】從拋物線上任意一點P向x軸作垂線段,垂足為Q,點M是線段上的一點,且滿足
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線與軌跡c交于兩點,T為C上異于的任意一點,直線,分別與直線交于兩點,以為直徑的圓是否過x軸上的定點?若過定點,求出符合條件的定點坐標;若不過定點,請說明理由.
【答案】(1) (2)見解析
【解析】
(1)利用相關(guān)點法,設(shè)設(shè),,則點的坐標為,由,從而得到,即.化簡求得結(jié)果;
(2)設(shè)出點A,B的坐標,將直線與曲線的方程聯(lián)立,消元得到,根據(jù)韋達定理得到 =, =,設(shè)點,寫出直線AT的方程,進而求得點D的坐標,同理求得點E的坐標,如果以為直徑的圓過軸某一定點,則滿足,利用向量數(shù)量積坐標公式求得結(jié)果.
(1)設(shè),,則點的坐標為.
因為,
所以,
即 ,
因為點在拋物線上,
所以,即.
所以點的軌跡的方程為.
(2)解法1:設(shè)直線與曲線的交點坐標為 ,,
由得.
由韋達定理得 =, =.
設(shè)點,則.
所以直線的方程為.
令,得點的坐標為.
同理可得點的坐標為.
如果以為直徑的圓過軸某一定點,則滿足.
因為 .
所以.
即,解得或.
故以為直徑的圓過軸上的定點和.
解法2:直線與曲線的交點坐標為,,
若取,則,與直線的交點坐標為,,
所以以為直徑的圓的方程為.
該圓與軸的交點坐標為和.
所以符合題意的定點只能是或.
設(shè)直線與曲線的交點坐標為 ,,
由得.
由韋達定理得
設(shè)點,則.
所以直線的方程為.
令,得點的坐標為.
同理可得點的坐標為.
若點滿足要求,則滿足.
因為
.
所以點滿足題意.
同理可證點也滿足題意.
故以為直徑的圓過軸上的定點和.
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【題目】條件
(1)條件:復(fù)數(shù),指明是的說明條件?若滿足條件,記,求
(2)若上問中,記時的在平面直角坐標系的點存在過點的拋物線頂點在原點,對稱軸為坐標軸,求拋物線的解析式。
(3)自(2)中點出發(fā)的一束光線經(jīng)拋物線上一點反射后沿平行于拋物線對稱軸方向射出,求:
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【題目】首項為O的無窮數(shù)列同時滿足下面兩個條件:
①;②
(1)請直接寫出的所有可能值;
(2)記,若對任意成立,求的通項公式;
(3)對于給定的正整數(shù),求的最大值.
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【題目】在平面直角坐標系中,動點分別與兩個定點,的連線的斜率之積為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設(shè)過點的直線與軌跡交于,兩點,判斷直線與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】正三棱柱的底面邊長是2,側(cè)棱長是4,是的中點.是中點,是中點,是中點,
(1)計算異面直線與所成角的余弦值
(2)求證:平面
(3)求證:面面
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【題目】某農(nóng)戶計劃種植萵筍和西紅柿,種植面積不超過畝,投入資金不超過萬元,假設(shè)種植萵筍和西紅柿的產(chǎn)量、成本和售價如下表:
年產(chǎn)量/畝 | 年種植成本/畝 | 每噸售價 | |
萵筍 | 5噸 | 1萬元 | 0.5萬元 |
西紅柿 | 4.5噸 | 0.5萬元 | 0.4萬元 |
那么,該農(nóng)戶一年種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)的最大值為____萬元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)()是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)的值;
(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上是增函數(shù);
(3)對任意的,若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知,是函數(shù)(其中常數(shù))圖象上的兩個動點,點,若的最小值為0,則函數(shù)的最大值為__________.
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