Question

【題目】正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是4，是的中點(diǎn).是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，

（1）計(jì)算異面直線(xiàn)與所成角的余弦值

（2）求證：平面

（3）求證：面面

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由得 為所求異面直線(xiàn)所成的角（或其補(bǔ)角），然后計(jì)算余弦值；

（2）先證面面，再由面面平行性質(zhì)得線(xiàn)面平行；

（3）由可證面面平行．

（1）如圖，連接，，

正三棱柱，分別是中點(diǎn)，則，，

∴平面，平面（正三棱柱的側(cè)面與底面垂直），

∴．∴為所求異面直線(xiàn)所成的角（或其補(bǔ)角）．

由已知，，，，

，

所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為．

（2）由分別是中點(diǎn)，得，是平行四邊形，

∴，又平面，平面，

∴平面,

由（1），又平面，平面，

∴平面,

，平面，平面，

∴面面，

又面

∴面

（3）由是的中點(diǎn).是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，

得，，而，∴，

，面，∴面，

由（2），又平面，平面，

∴面，

又平面，平面，

∴平面平面．