已知函數(shù)的圖像在點處的切線斜率為10.
(1)求實數(shù)的值;
(2)判斷方程根的個數(shù),并證明你的結(jié)論;
(21)探究: 是否存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側(cè)? 若存在,求出點A的坐標;若不存在,說明理由.

（1）8；（2）一個，證明參考解析；(21)

解析試題分析：（1）曲線上切線的斜率是通過導數(shù)的幾何意義，求曲線的導數(shù)再將該點的橫坐標代入即可求得該點的斜率，從而可解得的值.
（2）判斷方程的根的情況，一般是通過構造新的函數(shù)從而證明函數(shù)的與x軸的交點的個數(shù)得到對應方程的根的個數(shù).
(21)因為是否存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側(cè).是通過說明過該點的切線方程與曲線方程聯(lián)立后，構建一個新的函數(shù)，要說明該點不是新函數(shù)的極值點即可.
試題解析：（1）因為.圖像在點處的切線斜率為10，.解得.
（2）方程 只有一個實根.證明如下：由（1）可知 ，令，因為，，所以在內(nèi)至少有一個實根.又因為.所以在遞增，所以函數(shù)在上有且只有一個零點，及方程有且只有一個實根.
(21)由，，可求得曲線在點處的切線方程為.即.記，.若存在這樣的點，使得曲線在該點附近的左右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側(cè)，則問題等價于不是極值點，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當且僅當時，不是極值點，即.所以在上遞增.又，所以當時，，當時，，即存在唯一點.使得曲線在點A附近的左右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側(cè).
考點：1.函數(shù)求導.2.函數(shù)與方程的根的關系.3.構建新函數(shù)的思想.4.正確理解題意建立函數(shù)解題的思想.5.分類猜想等數(shù)學思想.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝＋a，g(x)＝aln x－x(a≠0)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：當a>0時，對于任意x1，x2∈，總有g(x1)<f(x2)成立．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的導函數(shù)．
(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范圍；
(2)解關于x的方程f(x)＝|f′(x)|； ?
(3)設函數(shù)g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]時的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，（為常數(shù)），直線與函數(shù)、的圖象都相切，且與函數(shù)圖象的切點的橫坐標為．
（1）求直線的方程及的值；
（2）若 [注：是的導函數(shù)]，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當時，試討論方程的解的個數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知x＝3是函數(shù)f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一個極值點．
(1)求a；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若直線y＝b與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知向量m＝(ex，ln x＋k)，n＝(1，f(x)]，m∥n(k為常數(shù))，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸垂直，F(x)＝xexf′(x)．
(1)求k的值及F(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知函數(shù)g(x)＝－x2＋2ax(a為正實數(shù))，若對于任意x2∈[0,1]，總存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)<F(x1)，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）設函數(shù)求的極值.
（2）證明：在上為增函數(shù)。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當時，求函數(shù)的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案