Question

3．如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2$\sqrt{3}$，AC，BD相交于點O．
（1）求邊AB的長；
（2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點G．
①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；
②旋轉(zhuǎn)過程中，當點E為邊BC的四等分點時（BE＞CE），求CG的長．

Answer 1

分析 （1）由已知得△AOB為直角三角形，由此利用勾股定理能求出AB．
（2）①由已知得△ABC與△ACD均為等邊三角形，從而∠BAE=∠CAF=60°．由已知推導出△ABE≌△ACF，從而得到△AEF是等腰三角形，由∠EAF=60°，能證明△AEF是等邊三角形．
②由已知推導出△ABE≌△ACF，從而CF=BE=$\frac{3}{2}$，∠EAC=∠GFC，再推導出△CAE∽△CFG，能求出CG．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴△AOB為直角三角形，且OA=$\frac{1}{2}$AC=1，OB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．
（2）①△AEF是等邊三角形．
理由如下：
∵由（1）知，菱形邊長為2，AC=2，∴△ABC與△ACD均為等邊三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE與△ACF中，
∵∠BAE=∠CAF，AB=AC=2，∠EBA=∠FCA=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形．
②BC=2，E為四等分點，且BE＞CE，
∴CE=$\frac{1}{2}$，BE=$\frac{3}{2}$．
由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=$\frac{3}{2}$．
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形內(nèi)角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等邊三角形內(nèi)角），∠EGA=∠CGF（對頂角）
∴∠EAC=∠GFC．
在△CAE與△CFG中，∵∠EAC=∠GFC，∠ACE=∠FCG=60°，
∴△CAE∽△CFG，∴$\frac{CG}{CE}=\frac{CF}{AC}$，即$\frac{CG}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{2}$，
解得：CG=$\frac{3}{8}$．

點評 本題考查三角形邊長的求法，考查三角形形狀的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角形全等、三角形相似的判定理定理和性質(zhì)定理的合理運用．