Question

已知函數(shù)f（x）=a（sinx-cosx）-2sinxcosx，x∈R，a是常數(shù)．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，判斷f（1）和f（

3

2

）的大小，并說明理由；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：分類討論,換元法,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）a=0時(shí)，計(jì)算f（1）與f（

3

2

）的值，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷它們的大��；
（2）用換元法，設(shè)t=sinx-cosx，用t表示f（x），討論a的取值，求出函數(shù)f（x）的最小值來．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（1）＜f（

3

2

）；
∵a=0時(shí)，f（x）=-2sinxcosx=-sin2x，
∴f（1）=-sin2，f（

3

2

）=-sin3；
∵正弦函數(shù)在區(qū)間（

π

2

，π）上是減函數(shù)，且

π

2

＜2＜3＜π，
∴sin2＞sin3，
∴-sin2＜-sin3，
∴f（1）＜f（

3

2

）；
（2）令t=sinx-cosx，則t=

2

sin（x-

π

4

），…（5分）
∵x∈R∴-

2

≤t≤

2

 …（6分）
∵t²=（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx
∴sinxcosx=

1-t2

2

  …（7分）
∴f（x）=at-（1-t²）=t²+at-1
∴只需求出函數(shù)g（t）=t²+at-1，-

2

≤t≤

2

的最小值即可  …（8分）
∵g（t）=(t+

a

2

)2-

a2

4

-1，-

2

≤t≤

2

∴當(dāng)-

2

≤

a

2

≤

2

即-2

2

≤a≤2

2

時(shí)，
函數(shù)g（t）的最小值為g（-

a

2

）=-

a2

4

-1  …（9分）
當(dāng)

a

2

＞

2

即a＞2

2

時(shí)，函數(shù)g（t）的最小值為g（-

2

）=1-

2

a …（10分）
當(dāng)

a

2

＜-

2

即a＜-2

2

時(shí)，函數(shù)g（t）的最小值為g（

2

）=1+

2

a  …（11分）
∴當(dāng)-2

2

≤a≤2

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-

a2

4

-1；
當(dāng)a＞2

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為1-

2

a；
當(dāng)a＜-2

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為1+

2

a．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了利用換元法與分類討論思想求函數(shù)最值的問題，是中檔題目．