Question

16．若函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{|x|}$（a為常數(shù)），若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇m，n]（m＜n），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 可設(shè)y=f（x），由已知條件便知方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=a-\frac{1}{|x|}}\\{y=x}\end{array}\right.$至少有兩個解，從而得到$x=a-\frac{1}{|x|}$至少有兩個解，需討論x：x＞0，便有x²-ax+1=0至少一解，從而有$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}＞0}\end{array}\right.$，這樣可解出一個a的范圍，同樣的方法求出x＜0時的a的范圍，這兩個范圍求交集即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：設(shè)y=f（x），根據(jù)題意方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=a-\frac{1}{|x|}}\\{y=x}\end{array}\right.$至少有兩個解；
∴$x=a-\frac{1}{|x|}$（1）至少有兩個解；
①若x＞0，上面方程變成x²-ax+1=0，則該方程在（0，+∞）上至少一個解；
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4≥0}\\{\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}＞0}\end{array}\right.$；
解得a≥2；
②若x＜0，方程（1）變成x²-ax-1=0，則該方程在（-∞，0）上至少有一個解；
∵△=a²+4＞0；
∴a需滿足$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}＜0$，顯然成立；
∴綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念，將函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)變成方程組解的情況，一元二次方程有解時，判別式△的取值情況，以及一元二次方程的求根公式．