如圖，是等邊三角形，，，將沿折疊到的位置，使得．

(1)求證：；
(2)若，分別是,的中點，求二面角的余弦值．

(1)見解析；(2).

解析試題分析：(1)根據(jù)已知條件可得以及，有直線與平面垂直的判定定理可得，再根據(jù)直線與平面垂直的性質定理可得；(2)有邊的關系，設，則，再由線段，，互相垂直，以三邊所在直線為軸建立空間直角坐標系，然后求出平面的法向量為以及平面的一個法向量是，將所求二面角的余弦值問題轉化為求這兩個法向量的夾角的余弦值問題.
試題解析：(1)證明：∵，∴，
又∵，且,
∴，
∵，
∴.
(2)∵是等邊三角形，
，，
不妨設，則，
又∵，分別為、的中點，
由此以為原點，，，所在直線為軸建立空間直角坐標系.

則有，，，，，，
∴，.
設平面的法向量為，
則，即，
令，則，
∴.
又平面的一個法向量是，
∴，
∴二面角的余弦值為.                  .12分
考點：1.直線與平面垂直的判定定理；2.直線與平面垂直的性質定理；3.二面角；4.平面的法向量；5.空間向量的數(shù)量積及夾角

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在長方體中，，，、 分別為、的中點．

(1)求證：平面；
(2)求證：平面．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，長方體中，為中點.

（1）求證：；
（2）在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由；
（3）若二面角的大小為，求的長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，，，，點M在線段EC上且不與E，C重合.

（Ⅰ）當點M是EC中點時，求證：平面ADEF；
（Ⅱ）當平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為時，求三棱錐M BDE的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9m和15m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角．

（1）求BC的長度；
（2）在線段BC上取一點P(點P與點B，C不重合)，從點P看這兩座建筑物的張角分別為，，問點P在何處時，最��？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

右圖是一個直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．

（1）設點是的中點，證明：平面；
（2）求二面角的大��；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

平行四邊形中，，，，以為折線，把折起，使平面平面，連結.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中點．

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，點D是AB的中點，

求證：（1）; （2）平面

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