Question

12．已知直線l過點(diǎn)P（-1，1），且傾斜角為$\frac{5π}{6}$，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²+4ρcosθ-2ρsinθ+1=0．
（1）試寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l的參數(shù)方程；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，試求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入曲線C的極坐標(biāo)方程可得直角坐標(biāo)方程；由直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式可得所求方程；
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，可得t的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，即可得到所求之積．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，可得
曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²+4ρcosθ-2ρsinθ+1=0，
即為直角坐標(biāo)方程x²+y²+4x-2y+1=0，
由直線l過點(diǎn)P（-1，1），且傾斜角為$\frac{5π}{6}$，
可得直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos\frac{5π}{6}}\\{y=1+tsin\frac{5π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
即為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
（2）直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，
可將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入曲線C的方程x²+y²+4x-2y+1=0，
可得t²-$\sqrt{3}$t-3=0，即有t₁+t₂=$\sqrt{3}$，t₁t₂=-3，
由參數(shù)t的幾何意義，可得|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|
=|t₁t₂|=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查參數(shù)方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用方程聯(lián)立和韋達(dá)定理，考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．