Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個(gè)焦點(diǎn)作一直線交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段|EF|長(zhǎng)的最大值與最小值分別是$4\sqrt{2}，2\sqrt{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）與圓（x-1）²+y²=1相切的直線l：y=kx+1與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OC}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，根據(jù)橢圓的定義及性質(zhì)求其方程；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直線l：y=kx+t與圓（x-1）²+y²=1相切，找出k與t的關(guān)系，消去k．
再利用橢圓上一點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OC}$，建立關(guān)系，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，過焦點(diǎn)作一直線交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段|EF|長(zhǎng)的最大值是2a，即2a=$4\sqrt{2}$，最小值時(shí)通經(jīng)，即$\frac{2^{2}}{a}=2\sqrt{2}$
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}2a=4\sqrt{2}，\;\;\\ \frac{{2{b^2}}}{a}=2\sqrt{2}，\;\;\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\sqrt{2}，\;\;\\ b=2，\;\;\end{array}\right.$
所求橢圓的方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直線l：y=kx+t與圓（x-1）²+y²=1相切，圓心到直線的距離等于半徑，所以：$\frac{|k+t|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1⇒{t^2}+2kt-1=0，\;\;∴k=\frac{{1-{t^2}}}{2t}$…①．
∵y=kx+1與橢圓交于M，N兩點(diǎn)：
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+t，\;\;\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.⇒（1+2{k^2}）{x^2}+4ktx+2{t^2}-8=0$，
所以：${x_1}+{x_2}=-\frac{4kt}{{1+2{k^2}}}，\;\;{x_1}{x_2}=\frac{{2{t^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，${y_1}+{y_2}=\frac{2t}{{1+2{k^2}}}$，
又∵$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OC}$，
∴$C（{\frac{-4kt}{{（1+2{k^2}）λ}}，\;\;\frac{2t}{{（1+2{k^2}）λ}}}）$，
將點(diǎn)C代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得${λ^2}=\frac{t^2}{{1+2{k^2}}}$…②
①代入②得${λ^2}=\frac{{2{t^4}}}{{1+{t^4}}}＜2$，解得$λ∈（-\sqrt{2}，\;\;0）∪（0，\;\;\sqrt{2}）$．
故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是：$（-\sqrt{2}，0）∪（0，\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的性質(zhì)求橢圓方程，以及圓，橢圓與直線的關(guān)系．設(shè)而不求，利用向量坐標(biāo)建立關(guān)系是本題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了化簡(jiǎn)能力和計(jì)算能力．屬于中檔題．