Question

已知a為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）試討論曲線y=f（x）與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的表達(dá)式，并求導(dǎo)數(shù)，解不等式，求出增區(qū)間和減區(qū)間，從而得到極小值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，討論a的范圍：0＜a＜2，a=2，a＞2求出單調(diào)區(qū)間和極值，從而判斷f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x3-

9

2

x2+6x-3，
f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
∴當(dāng)x＜1或x＞2時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，1），（2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞減．
故f（x）的極小值為f（2）=-1．
（2）f′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-

2

a

)(x-1)
令f′（x）=0，即3a(x-

2

a

)(x-1)=0，有x1=

2

a

，x2=1，
①若0＜a＜2，則

2

a

＞1．
∴當(dāng)x＜1或x＞

2

a

時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)

2

a

＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，極大值f(1)=-

1

2

＜0，
∴f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；                             
②若a=2，則f′（x）=6（x-1）²≥0
∴f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
③當(dāng)a＞2，由（1）知f（x）的極大值為f(

2

a

)=-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0，
∴f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；  
綜上所述，若a＞0，f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與極值的關(guān)系，同時(shí)考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．