Question

設(shè)x，y∈R，

i

，

j

分別為直角坐標(biāo)系中與x軸、y軸正半軸同方向的單位向量，若向量

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，且|

a

|+|

b

|=8．
（Ⅰ）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線y=-

x2

12

+3的頂點(diǎn)為P，直線l過點(diǎn)P與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線l，使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由|

a

|+|

b

|=8，結(jié)合向量模的計(jì)算公式可得

x2+(y+2)2

+

x2+(y-2)2

=8，即動(dòng)點(diǎn)（x，y）到兩定點(diǎn)（0，-2）和（0，2）的距離之和為定值2

2

，由橢圓的定義可得：點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，不合題意．當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l方程為：y=kx+3，聯(lián)立方程后，設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理和向量垂直的充要條件求出k值，可得答案．

解答： 解：（1）∵

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，
故

a

=（x，（y+2）），

b

=（x，（y-2）），
又∵|

a

|+|

b

|=8，
∴

x2+(y+2)2

+

x2+(y-2)2

=8，
即動(dòng)點(diǎn)（x，y）到兩定點(diǎn)（0，-2）和（0，2）的距離之和為定值2

2

，
由橢圓的定義可得：
點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程為

y2

16

+

x2

12

=1…（5分）
（2）因拋物線方程為：x²=-12（y-3），故P（0，3），F(xiàn)（0，0）．
當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，不合題意．
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l方程為：y=kx+3，
由

y=kx+3 y2 16 + x2 12 =1

⇒(4+3k2)x2+18kx-21=0，…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且△＞0恒成立，
則x1+x2=-

18k2

3k2+4

；x1x2=-

21

3k2+4

，
又∵FA⊥FB?x₁x₂+y₁y₂=0…（10分）
可得：k2=

5

16

⇒k=±

5

4

，
則所求的直線方程為：y=±

5

4

x+3…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，向量垂直的充要條件，橢圓的定義，是圓錐曲線與向量的綜合應(yīng)用，難度中檔．