Question

4．直線y=$\frac{1}{2}$x+b能作為下列函數(shù)圖象的切線嗎，若能，求出切點坐標(biāo)，若不能，請說明理由．
（1）f（x）=$\frac{1}{x}$；（2）f（x）=x⁴；（3）f（x）=sinx．

Answer 1

分析 先由直線方程求出直線的斜率，
（1）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，判斷出方程是否有解，即可得到答案；
（2）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，判斷出方程是否有解，即可得到答案；
（3）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，判斷出方程是否有解，即可得到答案．

解答 解：直線y=$\frac{1}{2}$x+b的斜率k=$\frac{1}{2}$，
（1）由題意得，$f′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}$，
令$-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{1}{2}$，則方程無解，則切點不存在，
所以直線y=$\frac{1}{2}$x+b不能作為函數(shù)f（x）的切線；
（2）由題意得，f′（x）=4x³，
令$4{x}^{3}=\frac{1}{2}$，解得x=$\frac{1}{2}$，則切點的坐標(biāo)是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{16}$），則切點存在，
所以直線y=$\frac{1}{2}$x+b能作為函數(shù)f（x）的切線；
（3）由題意得，f′（x）=cosx，
令cosx=$\frac{1}{2}$，則方程有無數(shù)個解，則切點存在，
所以直線y=$\frac{1}{2}$x+b能作為函數(shù)f（x）的切線．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在某點出的切線的斜率是該點處的導(dǎo)數(shù)值的應(yīng)用，以及方程思想．