Question

3．設雙曲線的實軸長為2a（a＞0），一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB恰好與圓x²+y²=a²相切，那么雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 可設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），可得F（c，0），B（0，b），求得直線BF的方程，運用點到直線的距離公式，結合離心率公式可得e的方程，解方程可得離心率．

解答 解：可設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
可得F（c，0），B（0，b），
直線FB的方程為$\frac{x}{c}$+$\frac{y}$=1，即bx+cy-bc=0，
直線FB恰好與圓x²+y²=a²相切，
可得原點到直線FB的距離恰好為實半軸長，
可得$\frac{|0-0-bc|}{\sqrt{{c}^{2}+^{2}}}$=a，
即有b²c²=a²b²+a²c²，
即為（c²-a²）c²=a²（c²-a²）+a²c²，
化為c⁴-3a²c²+a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e⁴-3e²+1=0，
解得e²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
即有e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直線方程和點到直線的距離公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．