Question

16．若A為△ABC的一個內(nèi)角，且sinA+cosA=$\frac{1}{5}$，則A=（　�。�

• A． arcsin$\frac{4}{5}$
• B． arcsin（-$\frac{4}{5}$）
• C． $\frac{π}{2}$+arcsin$\frac{4}{5}$
• D． $\frac{π}{2}$+arccos$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)在各個象限中的符號，求得tanA的值，進而可求cosA，sinA，利用A的范圍及sinA的值，即可計算得解．

解答 解：（1）∵A為△ABC的一個內(nèi)角，cosA+sinA=$\frac{1}{5}$，平方可得1+2sinAcosA=$\frac{1}{25}$，
即sinAcosA=-$\frac{12}{25}$，∴sinA＞0，cosA＜0，|sinA|＞|cosA|，tanA＜-1．
再根據(jù) $\frac{sinAcosA}{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A}$=$\frac{tanA}{ta{n}^{2}A+1}$，求得tanA=-$\frac{4}{3}$，或tanA=-$\frac{3}{4}$（舍去）．
∴cosA=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}A}}$=-$\frac{3}{5}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$，
∵sin（$\frac{π}{2}$+arccos$\frac{4}{5}$）=$\frac{4}{5}$，且$\frac{π}{2}$+arccos$\frac{4}{5}$∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴A=$\frac{π}{2}$+arccos$\frac{4}{5}$．
故選：D．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題．