【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),證明:.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)分別討論,,時(shí)的單調(diào)性,進(jìn)而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)由(1)可知時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn), ,設(shè),由,可得存在,則在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),即為最小值,故證明即可.
(1)由題,
當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)
又時(shí),
∴有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí),∴無(wú)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)在上是增函數(shù)
又時(shí),時(shí),
∴在上存在唯一零點(diǎn)
∴在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)
又時(shí),時(shí),
當(dāng)時(shí),
∴有兩個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí),,∴
∴
∴有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),在上無(wú)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)
∴
∴在上也無(wú)零點(diǎn)
∴在上無(wú)零點(diǎn)
綜上:時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)
或時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)
時(shí)無(wú)零點(diǎn)
(2)證明:由(1)知,
令,在上是增函數(shù)
又,
∴存在,使
∴在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)
∴
∵
∴
∴
∵
∴
又
∴
∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,且,且.
(1)若,試判斷的奇偶性;
(2)若,,,證明的圖像是軸對(duì)稱圖形,并求出對(duì)稱軸.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),把方程稱為函數(shù)的特征方程,特征方程的兩個(gè)實(shí)根、(),稱為的特征根.
(1)討論函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(2)已知為給定實(shí)數(shù),求的表達(dá)式;
(3)把函數(shù),的最大值記作,最小值記作,研究函數(shù),的單調(diào)性,令,若恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公園草坪上有一扇形小徑(如圖),扇形半徑為,中心角為,甲由扇形中心出發(fā)沿以每秒2米的速度向快走,同時(shí)乙從出發(fā),沿扇形弧以每秒米的速度向慢跑,記秒時(shí)甲、乙兩人所在位置分別為,,通過(guò)計(jì)算,判斷下列說(shuō)法是否正確:
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)取最小值;
(2)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);
(3)若最小,則;
(4)在上至少有兩個(gè)零點(diǎn);
其中正確的判斷序號(hào)是______(把你認(rèn)為正確的判斷序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某社會(huì)機(jī)構(gòu)為了調(diào)查對(duì)手機(jī)游戲的興趣與年齡的關(guān)系,通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查,整理數(shù)據(jù)得如下列聯(lián)表:
(1)根據(jù)列聯(lián)表,能否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)手機(jī)游戲的興趣程度與年齡有關(guān)?
(2)若已經(jīng)從40歲以下的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了5名,現(xiàn)從這5名被調(diào)查者中隨機(jī)選取3名,求這3名被調(diào)查者中恰有1名對(duì)手機(jī)游戲無(wú)興趣的概率.
附:
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系上放置一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,此正方形沿軸滾動(dòng)(向左或向右均可),滾動(dòng)開(kāi)始時(shí),點(diǎn)位于原點(diǎn)處,設(shè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,,該函數(shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為.
(1)寫出的值并求出頂點(diǎn)到的最小運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度的值;
(2)寫出函數(shù),,的表達(dá)式;并研究該函數(shù)除周期外的基本性質(zhì)(無(wú)需證明).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是(≈0.618,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm,則其身高可能是
A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中無(wú)理數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)的極值點(diǎn)有三個(gè),最小的記為,最大的記為,若的最大值為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題中:①在回歸分析中,可用相關(guān)系數(shù)r的值判斷模型的擬合效果,|r|越大,模擬的擬合效果越好;②在一組樣本數(shù)據(jù)不全相等)的散點(diǎn)圖中,若所有樣本點(diǎn)都在直線上,則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為;③對(duì)分類變量x與y的隨機(jī)變量來(lái)說(shuō),越小,判斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大.其中真命題的個(gè)數(shù)為__________.
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