Question

12．已知（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和的比值為64．
（1）判斷該展開式中有無x²項(xiàng)？若有，求出它的系數(shù)，若沒有，說明理由．
（2）求出展開式中所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由題意求得n=6，在通項(xiàng)公共式中，令x的冪指數(shù)等于2，求得r的值，可得結(jié)論．
（2）令x的冪指數(shù)6-$\frac{4r}{3}$為整數(shù)，可得r=0，3，6，從而求得展開式中所有的有理項(xiàng)．

解答 解：（1）∵（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ，各項(xiàng)系數(shù)之和為1，
（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和的比值為64，可得2ⁿ=64，n=6，
故（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ=（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁶ 的展開式開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{6}^{r}$•2^6-r•（-1）^r•${x}^{6-\frac{4r}{3}}$，
令6-$\frac{4r}{3}$=2，求得r=3，故展開式中有x²項(xiàng)，該項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{6}^{3}$•2³•（-1）=-160．
（2）令x的冪指數(shù)6-$\frac{4r}{3}$為整數(shù)，可得r=0，3，6，
故有理項(xiàng)分別為T₁=${C}_{6}^{0}$•2⁶•x⁶=64x⁶； T₄=${C}_{6}^{3}$•2³•（-1）•x²=-160x²； T₇=${C}_{6}^{6}$•x^-2=$\frac{1}{{x}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．