Question

1．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3^n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=log₃（$\frac{{a}_{n}}{2{7}^{3n}}$），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知直接利用累積法求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入S_n=log₃（$\frac{{a}_{n}}{2{7}^{3n}}$），利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，
求出數(shù)列首項(xiàng)，再由b_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列通項(xiàng)公式；
（3）由數(shù)列{b_n}得通項(xiàng)公式得到數(shù)列是以-9為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，b_n=n-10≤0，得n≤10，說明數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)小于等于0，自第11項(xiàng)起大于0，
然后分n≤10和n＞10求得數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）由a₁=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3^n-1（n≥2，n∈N^*），得
${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=3^n-1•3^n-2…3¹•1=3^{1+2+…+（n-1）}=${3}^{\frac{（n-1）n}{2}}$（n≥2，n∈N^*）．
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴${a}_{n}={3}^{\frac{（n-1）n}{2}}$；
（2）由S_n=log₃（$\frac{{a}_{n}}{2{7}^{3n}}$）=$lo{g}_{3}（\frac{{3}^{\frac{（n-1）n}{2}}}{2{7}^{3n}}）$=$lo{g}_{3}{3}^{\frac{{n}^{2}-19n}{2}}$=$\frac{{n}^{2}-19n}{2}$．
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=-9；
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}-19n}{2}-\frac{（n-1）^{2}-19（n-1）}{2}$=n-10．
當(dāng)n=1時(shí)上式成立．
∴b_n=n-10；
（3）∵b_n=n-10，∴b_n+1-b_n=1，
則數(shù)列{b_n}是以-9為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
由b_n=n-10≤0，得n≤10，
∴數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)小于等于0，自第11項(xiàng)起大于0，
當(dāng)n≤10時(shí)，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-（b₁+b₂+…+b_n）=-[-9n+$\frac{n（n-1）×1}{2}$]=$-\frac{{n}^{2}-19n}{2}$；
當(dāng)n＞10時(shí)，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-（b₁+b₂+…+b₁₀）+（b₁₁+…+b_n）
=-2（b₁+b₂+…+b₁₀）+（b₁+b₂+…+b₁₀+b₁₁+…+b_n）
=-2×$\frac{1{0}^{2}-190}{2}$+$\frac{{n}^{2}-19n}{2}$=$\frac{{n}^{2}-19n+180}{2}$．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{n}^{2}-19n}{2}，n≤10}\\{\frac{{n}^{2}-19n+180}{2}，n＞10}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．