Question

6．已知圓M：（x-2）²+y²=$\frac{1}{4}$上一動(dòng)點(diǎn)P，拋物線C：x²=y上存在兩動(dòng)點(diǎn)A（x₁，y₁），B （x₂，y₂）
（1）若M，A，B三點(diǎn)共線，求$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$的值
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，已知|AB|=$\sqrt{（{k}^{2}+1）（-8k-3）}$（k＜-$\frac{3}{8}$），求點(diǎn)P到直線AB的距離d的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圓心和半徑，設(shè)M，A，B所在直線方程為y=k（x-2），代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可得到所求值；
（2）將直線AB的方程代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，結(jié)合條件可得k，m的關(guān)系式，再由圓心到直線AB的距離，結(jié)合基本不等式求得最小值，運(yùn)用最短距離為d=d′-r，即可得到．

解答 解：（1）圓M：（x-2）²+y²=$\frac{1}{4}$的圓心M（2，0），半徑為r=$\frac{1}{2}$，
設(shè)M，A，B所在直線方程為y=k（x-2），
代入拋物線方程y=x²，可得x²-kx+2k=0，
則x₁+x₂=k，x₁x₂=2k，即有$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=2；
（2）直線AB的方程為y=kx+m，代入拋物線方程x²=y，
可得x²-kx-m=0，
判別式為k²+4m＞0，
x₁+x₂=k，x₁x₂=-m，
則|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{{k}^{2}+4m}$，
又|AB|=$\sqrt{（{k}^{2}+1）（-8k-3）}$（k＜-$\frac{3}{8}$），
即有k²+4m=-8k-3，即有4m=-3-8k-k²，
圓心M到直線AB的距離為d'=$\frac{|2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{3+{k}^{2}}{4\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
由于k＜-$\frac{3}{8}$，即k²＞$\frac{9}{64}$，d'²=$\frac{1}{16}$[（1+k²）+$\frac{4}{1+{k}^{2}}$+4]
≥$\frac{1}{16}$×（2$\sqrt{4}$+4）=$\frac{1}{2}$，
即有k=±1時(shí)，d'²取得最小值$\frac{1}{2}$，d'取得最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則點(diǎn)P到直線AB的距離d的最小值為d'-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程及運(yùn)用，以及拋物線的方程和運(yùn)用，同時(shí)考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．