Question

13．如圖，△ABC內(nèi)接與圓O，AD平分∠BAC交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，交圓O于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求證：AB•AC=AD•AE；
（Ⅱ）過(guò)D做MN∥BC，求證：MN是圓O的切線(xiàn)．

Answer 1

分析 （1）求出△ABD∽△AEC，得出比例式，即可得出答案；
（2）連接OD，根據(jù)角平分線(xiàn)求出∠BAD=∠CAD，推出弧BD=弧CD，根據(jù)垂徑定理求出OD⊥BC，推出OD⊥MN，根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可．

解答 證明：（1）連接BD，
∵∠BAD=∠CAE，∠BDA=∠ACE，
∴△ABD∽△AEC，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴AB•AC=AD•AE；
（2）連接OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∵OD過(guò)O，
∴OD⊥BC，
∵M(jìn)N∥BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是圓O的切線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度比較大．