Question

9．如圖所示，在五棱錐P-ABCDE中，PE⊥平面ABCDE，DE⊥AE，AB∥DE，BC∥AE．AE=AB=PE=2DE=2BC，F(xiàn)為棱PA的中點(diǎn)，過(guò)D、E、F的平面α與棱PB、PC分別交于點(diǎn)G、H．
（1）求證：DE∥FG；
（2）設(shè)DE=1，求三棱錐G-PEF的體積．

Answer 1

分析 （1）利用線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)，證明DE∥FG；
（2）由（1）知，F(xiàn)為棱PA的中點(diǎn)，G為棱PB的中點(diǎn)，利用三棱錐G-PEF的體積=$\frac{1}{2}$V_B-PEF=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{V}_{B-PEA}$=$\frac{1}{4}×{V}_{P-BEA}$，即可求三棱錐G-PEF的體積．

解答 （1）證明：∵AB∥DE，AB?平面PAB，DE?平面PAB，
∴DE∥平面PAB，
∵DE?α，α∩平面PAB=FG，
∴DE∥FG；
（2）解：由（1）知，F(xiàn)為棱PA的中點(diǎn)，G為棱PB的中點(diǎn)，
∴三棱錐G-PEF的體積=$\frac{1}{2}$V_B-PEF=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{V}_{B-PEA}$=$\frac{1}{4}×{V}_{P-BEA}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}{S}_{△BEA}×PE$
=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)，考查三棱錐G-PEF的體積，正確運(yùn)用線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．