Question

20．從雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的左焦點F引圓x²+y²=4的切線FP交雙曲線右支于點P，T為切點，N為線段FP的中點，O為坐標原點，則|NO|-|NT|=2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，設F′是雙曲線的右焦點，連接PF′．利用三角形的中位線定理和雙曲線的定義可得：|ON|=$\frac{1}{2}$|PF′|=$\frac{1}{2}$（|PF|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF|-2=|NF|-2，于是|ON|-|NT|=|NF|-|NT|-a=|FT|-a，連接OT，則OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，運用勾股定理，即可得出結論．

解答 解：如圖所示：
設F′是雙曲線的右焦點，連接PF′．
雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=4，
∵點N，O分別為線段PF，F(xiàn)F′的中點，
由三角形中位線定理得到：
|ON|=$\frac{1}{2}$|PF′|=$\frac{1}{2}$（|PF|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF|-2=|NF|-2，
∴|ON|-|NT|=|NF|-|NT|-2=|FT|-a，連接OT，
因為PT是圓的切線，則OT⊥FT，
在Rt△FOT中，|OF|=4，|OT|=2，
∴|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b=2$\sqrt{3}$．
∴|ON|-|NT|=b-a=2$\sqrt{3}$-2．
故答案為：2$\sqrt{3}$-2．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及圓的切線的性質(zhì)，考查三角形的中位線定理，以及運算能力，屬于中檔題．