已知函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且f(
1
3
)=
3
5

(1)確定函數(shù)f(x)的解析式;
(2)用定義證明f(x)在(-1,1)上是增函數(shù);
(3)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.
考點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,其他不等式的解法
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)由題意得方程組,解出a,b的值,從而求出函數(shù)的表達(dá)式;
(2)證明:設(shè)?-1<x1<x2<1,得出f(x1)<f(x2),從而得出f(x)的單調(diào)性;
(3)由f(t-1)+f(2t)<0,得出f(t-1)<-f(2t)=f(-2t),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得出-1<t-1<-2t<1,解出即可.
解答: (1)解:由題意得:
f(
1
3
)=
3
5
f(0)=0
,解得:
a=2
b=0
;
∴f(x)=
2x
1+x2
;
(2)證明:設(shè)?-1<x1<x2<1,
則f(x1)-f(x2)=
2(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)

∵-1<x1<x2<1,x1-x2<0,1-x1x2>0,從而f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-1,1)上遞增;
(3)解:∵f(t-1)+f(2t)<0,
∴f(t-1)<-f(2t)=f(-2t),
∵函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞增,
∴-1<t-1<-2t<1,解得:0<t<
1
3
,
∴原不等式的解集為:(0,
1
3
).
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題,求函數(shù)的解析式問題,考查函數(shù)的奇偶性,是一道中檔題.
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1
x2

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a
x
,a∈R.
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a2
x
在x∈(1,+∞)上為增函數(shù),求a的取值范圍.

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(1)求f(x)的解析式;
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數(shù)學(xué)教師甲要求學(xué)生從星期一到星期四每天復(fù)習(xí)3個(gè)不同的常錯(cuò)題;每周五對(duì)一周所復(fù)習(xí)的常錯(cuò)題隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行檢測(cè)(一周所復(fù)習(xí)的常錯(cuò)題每個(gè)被抽到的可能性相同)
(1)數(shù)學(xué)教師甲隨機(jī)抽了學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)的4個(gè)常錯(cuò)題進(jìn)行檢測(cè),求至少有3個(gè)是后兩天復(fù)習(xí)過的常錯(cuò)題的概率;
(2)某學(xué)生對(duì)后兩天所復(fù)習(xí)過的常錯(cuò)題每個(gè)能做對(duì)的概率為
4
5
,對(duì)前兩天所學(xué)過的常錯(cuò)題每個(gè)能做對(duì)的概率為
3
5
,若老師從后三天所復(fù)習(xí)的常錯(cuò)題中各抽取一個(gè)進(jìn)行檢測(cè),若該學(xué)生能做對(duì)的常錯(cuò)題的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

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3
≈1.73,
2
≈1.41,要求在結(jié)果完全化簡(jiǎn)后再代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)運(yùn)算,結(jié)果保留整數(shù))

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