Question

【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足a1＝2，an＋1＝3an＋2，

（1）證明:是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（2）證明: .

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）證明見(jiàn)解析。

【解析】

（1）要證明數(shù)列是等比數(shù)列，應(yīng)在an＋1＝3an＋2中找到數(shù)列中兩項(xiàng)之間的關(guān)系，用等比數(shù)列定義可證數(shù)列是等比數(shù)列。用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式。（2）由(1)可知,可知數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，所以用放縮法可得≤ ，進(jìn)而可得＋＋…＋≤(1＋＋…＋)，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和，即可證得結(jié)論。

(1)證明：由an＋1＝3an＋2，

得an＋1＋1＝3.

又a1＋1＝3，

所以是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.

∴an＋1＝，

因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝

(2)解： 由(1)知,

因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí)，3n－1≥2×3n－1，

所以≤

于是＋＋…＋≤(1＋＋…＋)＝<.

所以＋＋…＋<.