Question

如圖，將正△ABC分割成16個全等的小正三角形，在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于同一直線上的點放置的數(shù)（當數(shù)的個數(shù)不少于3時）都分別依次成等差數(shù)列，若頂點A，B，C處的三個數(shù)互不相同且和為1，則所有頂點的數(shù)之和S=

 

．

Answer 1

考點：歸納推理,等差數(shù)列的前n項和

專題：綜合題,推理和證明

分析：根據等差中項法分別求解n=2，3，4時的值，由此歸納出f（n）的值即可．

解答： 解：由題意可得，（各點放的數(shù)用該點的坐標表示）
當n=2時，根據等差數(shù)列的性質可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=1，2（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1，∴f（2）=2=

3×4

6

，
當n=3時，根據等差數(shù)列的性質可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，且A+B+C=1，從而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2，
同樣根據等差中項可得，M的數(shù)為

1

3

，所以f（3）=3+

1

3

=

4×5

6

，
依次可知結論為f（n）=

n(n+1)

6

，那么可知頂點A，B，C處的三個數(shù)互不相同且和為1，
則n=5時，所有頂點的數(shù)之和S=5，
故答案為：5．

點評：本題考查歸納推理，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．