已知直線y=kx+1和雙曲線3x2-y2=1相交于兩點A，B；
（1）求k的取值范圍；
（2）若以AB為直徑的圓恰好過原點，求k的值．
考點：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：直線與圓
分析：（1）把直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立可得△＞0，解出即可．
（2）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
解答： 解：設(shè)交點A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y=ax+1
3x2-y2=1
消去y，得（3-a2）x2-2ax-2=0，
（1）由于直線與雙曲線相交，∴
3-a2≠0
△=4a2+8(3-a2)＞0

∴a2＜6且a2≠3．
∴a的取值范圍為-
6
＜a＜
6
，且a≠±
3
．
（2）由韋達定理，得x1+x2=
2a
3-a2
，①x1x2=
-2
3-a2
，②
∵以AB為直徑的圓恰好過坐標系的原點，
∴
OA
⊥
OB
，
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0，
即x1x2+（ax1+1）（ax2+1）=0，整理得（a2+1）x1x2+a（x1+x2）+1=0③
將①②代入③，并化簡得
1-a2
3-a2
=0，∴a=±1，
經(jīng)檢驗，a=±1滿足題目條件，
故存在實數(shù)a滿足題目條件．
點評：本題考查了直線與雙曲線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|y=log2x}，B={y|y=1-2-x，x＞1}，則A∩B=（　�。�
A、（0，
1
2
）
B、（0，1）
C、（
1
2
，1）
D、Φ

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
a
x
-x
（1）若y=log
1
3
[8-f（x）]在[1，+∞]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)a=1，x+y=k，若不等式f(x)•f(y)≥(
k
2
-
2
k
)2對一切（x，y）∈（0，k）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB上的動點，則直線A1D與直線C1E所成的角等于（　�。�
A、60°B、90°
C、30°D、隨點E的位置而變化

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲的中心在坐標原點，實軸在x軸上，其離心率e=
2
，已知點(2
5
，0)到雙曲線上的點的最短距離為2
2
，求雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若A是定直線l外的一定點，則過點A且與l相切的圓的圓心軌跡是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1+a2+a3+…+an=n-an（n∈N*）．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）求證：數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列；
（3）設(shè)bn=（2-n）（an-1）（n∈N*），如果對任意n∈N*，都有bn＜
t
5
，求正整數(shù)t的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計算：log2
4
4
…4
n
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-2x2+mx+1在區(qū)間[-1，4]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為
 
．

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