Question

11．已知x∈[1，8]，求函數(shù)g（x）=（${log}_{2}\frac{x}{2}$）（${log}_{2}\frac{x}{4}$）的值域．

Answer 1

分析 利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)g（x）=（${log}_{2}\frac{x}{2}$）（${log}_{2}\frac{x}{4}$）=（log₂x-1）（log₂x-2）=log²₂x-3log₂x+2，
設t=log₂x，x∈[1，8]，
則0≤t≤3，
則函數(shù)等價為y=t²-3•t+2=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，在0≤t≤$\frac{3}{2}$上單調(diào)遞減，在$\frac{3}{2}$≤t≤3上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的最小值為：-$\frac{1}{4}$；最大值為：2．
即-$\frac{1}{4}$≤g（t）≤2，
∴函數(shù)的值域為[-$\frac{1}{4}$，2]．

點評 本題主要考查函數(shù)值域的計算，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是解決本題的關鍵．