Question

3．已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，直線x-2y+3=0與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=$\sqrt{5}$，則此雙曲線的方程為$\frac{4}{9}{y}^{2}-\frac{4}{9}{x}^{2}=1$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出等軸雙曲線的方程，與直線方程聯(lián)立，然后利用弦長(zhǎng)公式求得a，則雙曲線方程可求．

解答 解：設(shè)等軸雙曲線的方程為y²-x²=a（a＞0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{{y}^{2}-{x}^{2}=a}\end{array}\right.$，得3y²-12y+9+a=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${y}_{1}+{y}_{2}=4，{y}_{1}{y}_{2}=3+\frac{a}{3}$，
則|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{1+4}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{5}•\sqrt{16-4（3+\frac{a}{3}）}$=$\sqrt{5}$，
解得：$a=\frac{9}{4}$．
∴此雙曲線的方程為$\frac{4}{9}{y}^{2}-\frac{4}{9}{x}^{2}=1$．
故答案為：$\frac{4}{9}{y}^{2}-\frac{4}{9}{x}^{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．