Question

8．函數(shù)f（x）=-cos²x-2asinx+a，在區(qū)間[0，π]上有最小值-2，求a的值．

Answer 1

分析 化余弦為正弦，然后換元，在分類討論，利用單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，由最小值為-2求得a值．

解答 解：f（x）=-cos²x-2asinx+a=sin²x-2asinx+a-1．
令t=sinx，
∵[0，π]，∴t∈[0，1]，
則函數(shù)f（x）=-cos²x-2asinx+a化為：g（t）=t²-2at+a-1．
其對稱軸方程為t=a，
當(dāng)a＜0時，g（t）_min=g（0）=a-1=-2，解得a=-1；
當(dāng)a＞1時，g（t）_min=g（1）=-a=-2，解得a=2；
當(dāng)0≤a≤1時，$g（t）_{min}=g（a）=-{a}^{2}+a-1=-2$，解得a=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$（舍）．
∴a的值是-1和2．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，考查了換元法，訓(xùn)練了利用分類討論求二次函數(shù)的最值，是中檔題．