Question

13．已知{a_n}為等比數(shù)列，其中a₁=1，且a₂，a₃+a₅，a₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2n-1+a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比q，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）b_n=2n-1+a_n，=（2n-1）+（$\frac{1}{2}$）^n-1；運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
a₂，a₃+a₅，a₄成等差數(shù)列，可得
2（a₃+a₅）=a₂+a₄，
即有2（q²+q⁴）=q+q³，
解得q=$\frac{1}{2}$（0舍去），
a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）b_n=2n-1+a_n，
=（2n-1）+（$\frac{1}{2}$）^n-1；
前n項(xiàng)和T_n=（1+3+5+…+2n-1）+[1+$\frac{1}{2}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]
=$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$
=n²+2-2^1-n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，屬于中檔題．