Question

18．已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2）
（1）若$\overrightarrow{DB}$∥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DC}$∥$\overrightarrow{AB}$，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求到A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P（x，y，z）的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出向量$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{DC}$與$\overrightarrow{AB}$，利用向量平行列出方程組，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，列出方程，求出點(diǎn)P滿足的條件．

解答 解：（1）設(shè)D（x，y，z），∴$\overrightarrow{DB}$=（-x，1-y，-z），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，2），
$\overrightarrow{DC}$=（-x，-y，2-z），$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），
又$\overrightarrow{DB}$∥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DC}$∥$\overrightarrow{AB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-y=0}\\{2-z=0}\\{z=-2x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\\{z=2}\end{array}\right.$；
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，1，2）；
（2）到A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P（x，y，z）應(yīng)滿足|PA|=|PB|，
即$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}{+z}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}{+（y-1）}^{2}{+z}^{2}}$，
化簡(jiǎn)得x-y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了方程與方程組的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．