Question

2．定義符號函數(shù)sgnx=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，設(shè)f（x）=$\frac{sgn（\frac{1}{2}-x）+1}{2}$•f₁（x）+$\frac{sgn（x-\frac{1}{2}）+1}{2}$•f₂（x），x∈[0，1]，若f₁（x）=2（1-x），f₂（x）=x+$\frac{1}{2}$，若f（x）=a有兩個解，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{3}{2}，2]$
• B． [1，2]
• C． $\{1\}∪（\frac{3}{2}，2]$
• D． $（1，\frac{3}{2}]$

Answer 1

分析 分三種情況討論：①x=$\frac{1}{2}$②$\frac{1}{2}$＜x≤1③0≤x＜$\frac{1}{2}$，借助函數(shù)單調(diào)性分別求出這三種情況的函數(shù)值域，在根據(jù)f（x）=a有兩個解，容易求出a的范圍．

解答 解：①x=$\frac{1}{2}$，sgn（$\frac{1}{2}$-x）=0=sgn（x-$\frac{1}{2}$），則f（x）=$\frac{1}{2}$f₁（x）+$\frac{1}{2}$f₂（x），∵f₁（x）=2（1-x），f₂（x）=x+$\frac{1}{2}$，∴f（x）=$\frac{5}{4}-\frac{1}{2}x$，代入x=$\frac{1}{2}$，得f（x）=1；
②$\frac{1}{2}$＜x≤1，sgn（$\frac{1}{2}$-x）=-1，sgn（x-$\frac{1}{2}$）=1，f（x）=f₂（x）=x+$\frac{1}{2}$，f（x）在（$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，則1＜f（x）≤$\frac{3}{2}$；
③0≤x＜$\frac{1}{2}$，sgn（$\frac{1}{2}$-x）=1，sgn（x-$\frac{1}{2}$）=-1，f（x）=f₁（x）=2（1-x），f（x）在[0，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，則1＜f（x）≤2
分段函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}-\frac{1}{2}x，x=\frac{1}{2}時}\\{x+\frac{1}{2}，\frac{1}{2}＜x≤1時}\\{2（1-x），0≤x＜\frac{1}{2}時}\end{array}\right.$
又因為f（x）=a有兩個解，所以1＜a≤$\frac{3}{2}$．
故選：D．

點評 本題給出了一個含有符號函數(shù)的綜合式為例，以求函數(shù)的值域為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性和值域問題，屬于中檔題．