已知拋物線C的頂點為坐標原點,其焦點F(c,0)(c>0)到直線l:x-y+2=0的距離為
3
2
2

(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)若M是拋物線C上異于原點的任意一點,圓M與y軸相切.
(i)試證:存在一定圓N與圓M相外切,并求出圓N的方程;
(ii)若點P是直線l上任意一點,A,B是圓N上兩點,且
AB
BN
,求
PA
PB
的取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)設(shè)拋物線C的方程為y2=4cx,由
|c-0+2|
2
=
3
2
2
,能求出拋物線C的方程.
(Ⅱ)(i)設(shè)圓M與y軸的切點是點M′,連結(jié)MM′交拋物線C的準線于點M'',則|MF|=|MM''|=rM+1,由已知條件推導(dǎo)出圓N即為圓F,由此能求出圓N的方程.
(ii)由
AB
=λ
BN
,知AB為圓N直徑,由此能求出
PA
PB
的取值范圍.
解答: (Ⅰ)解:依題意,設(shè)拋物線C的方程為y2=4cx,
|c-0+2|
2
=
3
2
2
,結(jié)合c>0,解得c=1.
所以拋物線C的方程為y2=4x.…(4分)
(Ⅱ)(i)證明:設(shè)圓M與y軸的切點是點M′,
連結(jié)MM′交拋物線C的準線于點M'',則|MF|=|MM''|=rM+1,
所以圓M與以F為焦點,1為半徑的圓相切,圓N即為圓F,
圓N的方程為(x-1)2+y2=1.…(8分)
(ii)解:由
AB
=λ
BN
,知AB為圓N直徑,…(9分)
從而
PA
PB
=(
PN
+
NA
)•(
PN
+
NB

=
PN
2
+
PN
•(
NA
+
NB
)+
NA
NB

=
PN
2
-1
≥(
3
2
2
2-1=
7
2

所以
PA
PB
的取值范圍是[
7
2
,+∞).…(13分)
點評:本題考查拋物線方程的求法,考查兩圓外切的證明,考查圓的方程的求法,考查向量數(shù)量積的取值范圍的求法,解題時要認真審題,注意圓的性質(zhì)的合理運用.
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27a6
8b-3
)-
1
3

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3
).
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3
f(
π
2
-2x)-2f2(x)在區(qū)間[0,
π
2
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1
b
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