Question

已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為          ．

Answer 1

解析試題分析：在△PF₁F₂中，由正弦定理得：，則由已知得：，
即：a|PF₁|=|cPF₂|
設點（x₀，y₀）由焦點半徑公式，
得：|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex_0,則a（a+ex₀）=c（a-ex₀）
解得：x₀=，由橢圓的幾何性質(zhì)知：x₀＞-a則>-a
整理得e²+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），
故橢圓的離心率：e∈(-1，1)，故答案為：(-1，1)．
考點：本題主要考查了橢圓的定義，性質(zhì)及焦點三角形的應用，特別是離心率應是橢圓考查的一個亮點，多數(shù)是用a，b，c轉(zhuǎn)化，用橢圓的范圍來求解離心率的范圍．
點評：解決該試題的關(guān)鍵是能通過橢圓的定義以及焦點三角形的性質(zhì)得到a,b,c的關(guān)系式的轉(zhuǎn)換，進而得到離心率的范圍。