15.已知函數(shù)f(x)=4x2+$\frac{1}{x}$-a,g(x)=f(x)+b,其中a,b為常數(shù).
(1)若x=1是函數(shù)y=xf(x)的一個(gè)極值點(diǎn),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn),f(g(x))有6個(gè)零點(diǎn),求a+b的取值范圍.

分析 (1)求得函數(shù)y=xf(x)的導(dǎo)數(shù),由極值的概念可得a=12,求出f(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率和切點(diǎn),運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程;
(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,以及極值,由零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,可得a=3,作出y=f(x)的圖象,令t=g(x),由題意可得t=-1或t=$\frac{1}{2}$,即f(x)=-1-b或f(x)=$\frac{1}{2}$-b都有3個(gè)實(shí)數(shù)解,由圖象可得-1-b>0,且$\frac{1}{2}$-b>0,即可得到所求a+b的范圍.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=4x2+$\frac{1}{x}$-a,
則y=xf(x)=4x3+1-ax的導(dǎo)數(shù)為y′=12x2-a,
由題意可得12-a=0,解得a=12,
即有f(x)=4x2+$\frac{1}{x}$-12,
f′(x)=8x-$\frac{1}{{x}^{2}}$,
可得曲線在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為7,切點(diǎn)為(1,-7),
即有曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y+7=7(x-1),
即為y=7x-14;
(2)由f(x)=4x2+$\frac{1}{x}$-a,導(dǎo)數(shù)f′(x)=8x-$\frac{1}{{x}^{2}}$,
當(dāng)x>$\frac{1}{2}$時(shí),f′(x)>0,f(x)遞增;當(dāng)x<0或0<x<$\frac{1}{2}$時(shí),f′(x)<0,f(x)遞減.
可得x=$\frac{1}{2}$處取得極小值,且為3-a,
由f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),可得3-a=0,即a=3,零點(diǎn)分別為-1,$\frac{1}{2}$.
令t=g(x),即有f(t)=0,可得t=-1或$\frac{1}{2}$,
則f(x)=-1-b或f(x)=$\frac{1}{2}$-b,
由題意可得f(x)=-1-b或f(x)=$\frac{1}{2}$-b都有3個(gè)實(shí)數(shù)解,
則-1-b>0,且$\frac{1}{2}$-b>0,即b<-1且b<$\frac{1}{2}$,
可得b<-1,即有a+b<2.
則a+b的范圍是(-∞,2).

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值,考查函數(shù)零點(diǎn)問題的解法,注意運(yùn)用換元法和數(shù)形結(jié)合的思想方法,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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