Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，右頂點(diǎn)為（2，0），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直線(xiàn)l₁：y=kx+m（k≠0，m≠0）與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)AB的中點(diǎn)M作垂直于l₁的直線(xiàn)l₂，設(shè)l₂與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)C，D，且CD的中點(diǎn)為N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)原點(diǎn)O到直線(xiàn)l₁的距離為d，求$\frac{{|{MN}|}}g17b6pw$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)出AB的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)直線(xiàn)CD的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，再由二次函數(shù)的最值，即可得到范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$得a=2，c=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
則橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{1+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}.\end{array}\right.$，
故$M（-\frac{4mk}{{1+4{k^2}}}，\frac{m}{{1+4{k^2}}}）$，
l₂：y-$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{4mk}{1+4{k}^{2}}$），即$y=-\frac{1}{k}x-\frac{3m}{{1+4{k^2}}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{k}x-\frac{3m}{{1+4{k^2}}}\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得$（1+\frac{4}{k^2}）{x^2}+\frac{24m}{{k（1+4{k^2}）}}x+\frac{{36{m^2}}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}-4=0$，
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則${x_3}+{x_4}=-\frac{24mk}{{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}}$，
故$N（-\frac{12mk}{{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}}，-\frac{{3m{k^2}}}{{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}}）$，
故$|{MN}|=|{x_M}-{x_N}|\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$=$\frac{{4|m|（{k^2}+1）\sqrt{{k^2}+1}}}{{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}}$，
又$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
所以$\frac{{|{MN}|}}rt1g6tv$=$\frac{{4{{（{k^2}+1）}^2}}}{{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}}$．
令t=k²+1（t＞1），
則$\frac{{|{MN}|}}megdgsu$=$\frac{{4{t^2}}}{{4{t^2}+9t-9}}=\frac{4}{{-\frac{9}{t^2}+\frac{9}{t}+4}}=\frac{4}{{-9{{（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{25}{4}}}$$∈[\frac{16}{25}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，同時(shí)考查兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．