Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=2a_n+1-a_n+2
（1）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，證明{b_n}等差數(shù)列
（2）{a_n}通項公式
（3）求{$\frac{{a}_{n}-{n}^{2}}{3n}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式變形，可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，即b_n+1-b_n=2，由此可得{b_n}等差數(shù)列；
（2）由（1）中的等差數(shù)列求得{b_n}的通項公式，再由累加法求{a_n}通項公式；
（3）把{a_n}通項公式代入數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-{n}^{2}}{{3}^{n}}$}，再由錯位相減法求其前n項和．

解答 （1）證明：由a_n+2=2a_n+1-a_n+2，
得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
即b_n+1-b_n=2，
又b₁=a₂-a₁=2-1=1，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）得b_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n+1-a_n=2n-1，
則a₂-a₁=2×1-1，a₃-a₂=2×2-1，…，a_n-a_n-1=2（n-1）-1（n≥2），
累加得：a_n-a₁=2[1+2+…+（n-1）]-（n-1）=$2×\frac{n（n-1）}{2}-（n-1）=（n-1）^{2}$，
∴${a}_{n}=（n-1）^{2}+1$（n≥2），
已知n=1時上式成立，
∴${a}_{n}=（n-1）^{2}+1$；
（3）解：$\frac{{a}_{n}-{n}^{2}}{{3}^{n}}=\frac{{n}^{2}-2n+2-{n}^{2}}{{3}^{n}}=\frac{-2n+2}{{3}^{n}}$，
設(shè)數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-{n}^{2}}{{3}^{n}}$}的前n項和為T_n，
則${T}_{n}=\frac{0}{{3}^{1}}+\frac{-2}{{3}^{2}}+\frac{-4}{{3}^{3}}+…+\frac{-2n+2}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}=\frac{0}{{3}^{2}}+\frac{-2}{{3}^{3}}+…+\frac{-2n+4}{{3}^{n}}+\frac{-2n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}=\frac{-2}{{3}^{2}}+\frac{-2}{{3}^{3}}+…+\frac{-2}{{3}^{n}}-\frac{-2n+2}{{3}^{n+1}}$=$-2•\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}-\frac{-2n+2}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}-\frac{1}{3}-\frac{-2n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=\frac{2n+1}{2•{3}^{n}}-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的前n項和，考查錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．