Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-ax的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，記數(shù)列$\{\frac{1}{f（n）}\}$的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₆的值為（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2016}{2017}$
• C． $\frac{2014}{2015}$
• D． $\frac{2017}{2018}$

Answer 1

分析 求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a=-1，求出$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²-ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-a，
可得函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=2-a，
由切線l與直線x+3y-1=0垂直，可得2-a=3，解得a=-1，
即有f（x）=x²+x=x（x+1），
故$\frac{1}{f（n）}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
則${S_{2016}}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$=$1-\frac{1}{2017}=\frac{2016}{2017}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．