19.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2,且2a1•a2=a3,且bn=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$,設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求Tn,并求使不等式Tn>$\frac{k}{2016}$對(duì)一切n∈N*都成立的正整數(shù)k的最大值.

分析 (1)由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得2×2×2q=2q2,從而得到q=4,由此能求出{an}的通項(xiàng)公式.
(2)由$_{n}=\frac{1}{lo{g}_{2}{2}^{2n-1}•lo{g}_{2}{2}^{2n+1}}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$),利用裂項(xiàng)求和法求出{bn}的前n項(xiàng)和Tn=$\frac{n}{2n+1}$,由此能求出使不等式Tn>$\frac{k}{2016}$對(duì)一切n∈N*都成立的正整數(shù)k的最大值.

解答 解:(1)∵等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2,且2a1•a2=a3,
∴a1=2,2×2×2q=2q2,
∵q≠0,
∴q=4,
∴${a}_{n}=2•{4}^{n-1}$=22n-1
(2)∵${a}_{n}={2}^{2n-1}$,${a}_{n+1}={2}^{2n+1}$,且bn=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$,
∴$_{n}=\frac{1}{lo{g}_{2}{2}^{2n-1}•lo{g}_{2}{2}^{2n+1}}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$),
∴{bn}的前n項(xiàng)和:
Tn=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$)
=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{n}{2n+1}$,
∵Tn+1-Tn=$\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}$=$\frac{1}{(2n+3)(2n+1)}$>0,
∴Tn單調(diào)遞增,
∴(Tnmin=T1=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{1}{3}>\frac{k}{2016}$,
∴k<672,
∴kmax=671.
∴使不等式Tn>$\frac{k}{2016}$對(duì)一切n∈N*都成立的正整數(shù)k的最大值為671.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查使不等式成績(jī)的正整數(shù)的最大值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.

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