Question

9．在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AB=2，AA₁=2$\sqrt{3}$，點A、B、C、D在球O的表面上，球O與BA₁的另一個交點為E，與CD₁的另一個交點為F，且AE⊥BA₁，則球O的表面積為8π．

Answer 1

分析 連結(jié)EF，DF，說明三棱柱ABE-DCF是球O的內(nèi)接直三棱柱，求出球的半徑，即可求解球的表面積．

解答 解：連結(jié)EF，DF，易證得BCEF是矩形，
則三棱柱ABE-DCF是球O的內(nèi)接直三棱柱，
∵AB=2，AA₁=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABA₁=$\sqrt{3}$，即∠ABA₁=60°，
又AE⊥BA₁，
∴AE=$\sqrt{3}$，BE=1，
∴球O的半徑R=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
球O表面積為：4πR²=4π$•（\sqrt{2}）^{2}$=8π．
故答案為：8π．

點評 本題主要考查球的表面積公式，以及球內(nèi)接三棱柱的關(guān)系，考查空間想象能力以及計算能力．