Question

19．函數(shù)y=$\frac{2-sinθ}{1-cosθ}$的最小值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角公式，把函數(shù)的解析式化為y=$\frac{{2sin}^{2}\frac{θ}{2}+{2cos}^{2}\frac{θ}{2}-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{1-（1-{2cos}^{2}\frac{θ}{2}）}$=${（cot\frac{θ}{2}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，再利用二次函數(shù)的性質求得它的最小值．

解答 解：y=$\frac{2-sinθ}{1-cosθ}$=$\frac{{2sin}^{2}\frac{θ}{2}+{2cos}^{2}\frac{θ}{2}-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{1-（1-{2cos}^{2}\frac{θ}{2}）}$=$\frac{{tan}^{2}\frac{θ}{2}+1-tan\frac{θ}{2}}{{tan}^{2}\frac{θ}{2}}$=${cot}^{2}\frac{θ}{2}$-cot$\frac{θ}{2}$+1=${（cot\frac{θ}{2}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，
故當cot$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)y取得最小值為$\frac{3}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角公式，二次函數(shù)的性質的應用，屬于中檔題．